Simplexe und Primzahlen in der Divisionstabelle
Die Figuren der Simplexe lassen sich in eine Tabelle aller Brüche auffächern. Die vier Startfiguren bilden darin ein Raster, und die teilerfremden Felder haben die Dichte 6/π².
Geometrie und Zahlentheorie lassen sich eigentlich nicht trennen. Beide bedingen einander und sind als Einheit zu sehen. Am deutlichsten wird das in der Divisionstabelle: einer Tabelle, in der jede Spalte eine Zahl n und jede Zeile einen Teiler k trägt. In der Harmonik heißt dieselbe Tabelle Lambdoma (siehe Das Lambdoma).
Die Figuren auffächern
In jedes Feld (n, k) gehört eine Figur: das n-Eck mit jedem k-ten Punkt verbunden. Nach ihrer Teilbarkeit gefärbt, zeigt die Tabelle, wie die vier Startfiguren verteilt sind.
Die ersten Felder der Divisionstabelle mit ihren Figuren. Spalte = Zahl n, Zeile = Teiler k. Figuren gibt es nur, solange n : k mindestens 2 ist.
Im Großen zeigt die Färbung ein strenges Muster:
Die Divisionstabelle bis 60 × 60 (mit dem Regler bis 200 × 200). Blasse Felder liegen jenseits der Schranke n : k = 2, wo es keine Sternfiguren mehr gibt.
- Die Zeile k = 1 enthält die Zahlen selbst, die Polygone.
- Teilbare Felder (gelb) liegen auf Strahlen, die vom Ursprung ausgehen.
- Teilerfremde Felder (rot) sind neue Verhältnisse, die sich nicht kürzen lassen.
- Felder mit gemeinsamem Teiler, aber nicht teilbar (grün) wiederholen einen schon bekannten Bruch.
Grün und gelb markieren also Brüche, die schon früher vorkamen. Rot markiert jeweils eine neue Konstellation.
Die Dichte 6/π²
Eine bekannte Tatsache aus der Zahlentheorie: Wählt man zwei natürliche Zahlen zufällig aus, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie teilerfremd sind,
6/π² ≈ 60,8 %
Genau das ist der Anteil der roten Felder in der Divisionstabelle, je größer die Tabelle, desto genauer. Die Anzeige unter der Grafik zeigt, wie sich der Wert annähert.
Hier liegt eine Brücke: In einer Tabelle über Teilbarkeit taucht die Kreiszahl auf. Das passt zur These, dass die Simplexe, als Figuren im Kreis, das Wesen von π ausdrücken (siehe Simplexe und die Kreiszahl π).
Die Pentagramme in der Tabelle
Die Unordnung der Primzahlen hängt an den Koordinaten mit dem Quotienten 2,5. In der Divisionstabelle sind das die Felder 5/2, 10/4, 15/6, 20/8, 25/10 … Die zugehörigen Figuren setzen sich ausschließlich aus Pentagrammen zusammen:
- 25 : 10 = 2,5 ergibt 5 Pentagramme,
- 35 : 14 = 2,5 ergibt 7 Pentagramme,
- 45 : 18 = 2,5 ergibt 9 Pentagramme,
- 55 : 22 = 2,5 ergibt 11 Pentagramme.
Der 25-Eck-Simplex. Die Figur 25/10 besteht aus fünf Pentagrammen. 25 ist die erste Zahl, bei der ein Zwillingsplatz im Sechsertakt keine Primzahl trägt.
Die Zähler liegen immer 10 auseinander, die Nenner immer 4. Das Pentagramm mit seinen Überschneidungen ist damit der „Grenzüberschreiter“ der Tetraktys und wird in den folgenden Zahlenbereichen zur Leitfigur. Sein Quadrat, 25, leitet die Unordnung der sich überlagernden Raster ein.
Ein weiterer Befund: 25 ist die einzige Zahl, bei der Innenwinkelsumme (in Vollkreisen) und Quotient übereinstimmen, nämlich 2,5 beim Teiler 10. Das erinnert daran, dass die 10 die einzige Zahl ist, deren Simplex genauso viele Vollkreise wie Ecken hat (siehe Winkelsummen und Vollkreise).
Selbst nachzeichnen
Wer sich Zeit nimmt, selbst Simplexe zu zeichnen und ihre Sternpolygon-Typen zu prüfen, versteht, worum es geht. Wer die Positionen nicht selbst überprüft, muss den Darstellungen vertrauen. Überzeugen kann am Ende nur die eigene Prüfung.
Nichtkommutative Geometrie
Zum Schluss ein Ausblick: In den 1980er-Jahren begründete Alain Connes die nichtkommutative Geometrie, einen Zweig der Mathematik, der Zahlentheorie und Teilchenphysik miteinander verbindet. Neuere Forschung vermutet, dass die Primzahlfrage ein Gegenstück in der Physik hat. Daraus würde folgen, dass die Divisionstabelle und die Kreisgeometrie der Simplexe mit der Teilchenphysik und damit mit unserer erfahrbaren Welt in direkter Beziehung stehen. Das entspräche der Weltsicht der Pythagoreer vor 2500 Jahren. Mehr dazu unter Alles ist Zahl – alles ist Frequenz.