Das Sieb des Eratosthenes und die Tetraktys
Eine neue Sicht auf das älteste Primzahlverfahren. Die Zahlen, die zwischen 25 und 169 aus den Zwillingsplätzen fallen, ordnen sich in Rastern im Abstand von 10.
Das Sieb des Eratosthenes ist das älteste Verfahren, um Primzahlen zu finden: Man schreibt die Zahlen auf und streicht nacheinander alle Vielfachen von 2, 3, 5, 7 … Was übrig bleibt, sind die Primzahlen.
Man kann das Sieb aber auch anders lesen. Man setzt den Sechsertakt als gegeben voraus: Alle Vielfachen von 2 und 3 sind schon gestrichen, übrig sind die Zwillingsplätze 6n ± 1. Dann beginnt die interessante Arbeit erst bei 25, wo die Fünf die Ordnung der Zwillinge zum ersten Mal stört.
Die Ausgangslage: Bis 24 sind alle Zwillingsplätze mit Primzahlen besetzt. Mit 25 und 35 fallen die ersten aus.
Die gestrichenen Plätze
Genau 10 Zahlen nach 25 beginnt mit 35 ein 14er-Raster, das die Vielfachen der 7 aussiebt. Dann folgt bei 45 ein 18er-Raster und so weiter. Um die Ordnung zu sehen, nimmt man auch die ungeraden, durch drei teilbaren Zahlen außerhalb der Zwillingsplätze hinzu.
| Teiler | Start | Schritt | getroffene Zahlen bis 169 |
|---|---|---|---|
| 5 | 25 = 5 × 5 | 10 | 2535455565758595105115125135145155165 |
| 7 | 35 = 5 × 7 | 14 | 3549637791105119133147161 |
| 9 | 45 = 5 × 9 | 18 | 45638199117135153 |
| 11 | 55 = 5 × 11 | 22 | 557799121143165 |
| 13 | 65 = 5 × 13 | 26 | 6591117143169 |
| 15 | 75 = 5 × 15 | 30 | 75105135165 |
| 17 | 85 = 5 × 17 | 34 | 85119153 |
| 19 | 95 = 5 × 19 | 38 | 95133 |
| 21 | 105 = 5 × 21 | 42 | 105147 |
Alle Zwillingsplätze, die zwischen 25 und 169 keine Primzahl tragen (rot), und die ungeraden, durch drei teilbaren Zahlen (grün), die als Symmetrieachsen dazwischen liegen.
Die durch drei teilbaren Zahlen bilden die ordnenden Symmetrieachsen zwischen den einzelnen Teilbarkeitsfiguren der aufgefächerten Simplexe. Auch die ganze Tabelle ist spiegelsymmetrisch: Die Zahlen in den Rastern wiederholen sich in einer spiegelbildlichen Hälfte, weil etwa 5 × 7 und 7 × 5 dieselbe Zahl treffen.
Diese Ordnung, immer um 10 versetzte Raster mit jeweils um 4 größeren Abständen, setzt sich ohne Ende fort. Sie erinnert noch einmal an den Anfang der Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Genau diese Raster der durch drei teilbaren Zahlen haben wohl auch das 30er-Sieb von Felix Stoffel angeregt. Stoffel teilte die Primzahlen auf dieser Grundlage in „vier Temperamente“ ein, auch das eine Sicht auf die Tetraktys.