Der Schlüssel zur Tetraktys
Es gibt nur drei Arten, wie eine Zahl zu einem Teiler stehen kann. Zusammen mit der Zahl selbst ergeben sie vier Grundfiguren, und die Zehn ist die erste Zahl, die alle vier enthält.
Verbindet man in einem regelmäßigen n-Eck jeden k-ten Eckpunkt, entsteht eine Figur, die man {n/k} schreibt. Welche Art von Figur das wird, hängt allein davon ab, wie n und k zueinander stehen. Jede Figur im Simplex beschreibt also das Teilungsverhalten der Zahl n.
Ein Beispiel: 6 ist durch 2 und durch 3 teilbar. Im Sechseck ergibt „jeden zweiten Punkt verbinden“ zwei Dreiecke (2 × 3), „jeden dritten Punkt verbinden“ drei Linien durch die Mitte (3 × 2).
Drei Teilbarkeiten, vier Figuren
Zwischen einer natürlichen Zahl und einem möglichen Teiler gibt es genau drei Beziehungen:
- Die Zahl ist durch den Teiler teilbar.
- Die Zahl und der Teiler sind teilerfremd, haben also keinen gemeinsamen Teiler außer 1.
- Die Zahl ist nicht teilbar, hat mit dem Teiler aber einen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Nimmt man die Zahl selbst hinzu, das einfache Vieleck ohne Teiler, erhält man vier Grundfiguren. Jede von ihnen tritt zum ersten Mal bei einer bestimmten Zahl auf. Diese ersten Vorkommen heißen hier die Startfiguren:
Die vier Startfiguren: das Dreieck (3), das doppelte Dreieck oder Hexagramm (6 : 2), das Pentagramm (5 : 2) und das doppelte Pentagramm (10 : 4).
| Figur | erstes Auftreten | Teilbarkeit |
|---|---|---|
| Polygon | 3 | die Zahl selbst, ohne Teiler |
| Polygon mehrfach | 6 : 2 = 3 | teilbar |
| Sternpolygon | 5 : 2 = 2,5 | teilerfremd |
| Sternpolygon mehrfach | 10 : 4 = 2,5 | nicht teilbar, gemeinsamer Teiler 2 |
Hinzu kommen bei geraden Zahlen die Linien durch den Mittelpunkt (k = n/2). Sie haben keine Fläche und gehören zur zweiten Gruppe, denn n ist durch k teilbar.
Warum die Zehn
Das Zehneck ist die erste Zahl, deren Simplex alle vier Grundfiguren zugleich enthält:
- 10 : 1 ergibt das Zehneck selbst, das Polygon.
- 10 : 2 ergibt zwei Fünfecke, ein Polygon mehrfach.
- 10 : 3 ergibt einen Stern, der sich in einem Zug zeichnen lässt, ein Sternpolygon.
- 10 : 4 ergibt zwei Pentagramme, ein Sternpolygon mehrfach.
- 10 : 5 ergibt fünf Linien durch die Mitte, den Linienstern.
Vier Grundfiguren, zum ersten Mal vereint in der Zahl Zehn: der eigentliche Schlüssel zur Tetraktys 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Der Simplex eines frei wählbaren n-Ecks, zerlegt in seine Figuren. Unter jeder Figur steht der Quotient n : k. Ab n = 10 kommen in jedem geraden Simplex alle vier Startfiguren vor.
Eine auffällige Parallele
Die Startfiguren wiederholen ein Muster der Dreieckszahlen. Die 6 ist die dritte Dreieckszahl, und das Hexagramm (das doppelte Dreieck) ist die dritte Startfigur. Die 10 ist die vierte Dreieckszahl, und das doppelte Pentagramm ist die vierte Startfigur.
Polygone und einfache Sternpolygone sind nach dieser Deutung gleichsam das Grundrauschen. Die mehrfachen Figuren dagegen bilden ein ordnendes Raster in der Menge der Zahlen: Polygon und Polygon mehrfach liegen in der Divisionstabelle zeilenweise, die Sternfiguren als Flächenraster. Wie daraus die Ordnung und Unordnung der Primzahlen folgt, zeigt die Rubrik Zahlentheorie.