Simplexe, Zahlentheorie und die Kreiszahl π
Das Sechseck und die Drei vor dem Komma, eingeklappte Quadrate im n-Eck und Figuren, deren Winkel genau einen Vollkreis ergeben.
Dass die Kreiszahl π und die Primzahlen zusammenhängen, wusste schon Leonhard Euler. Er zeigte, dass die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen π²/6 ergibt und dass sich diese Summe als Produkt über alle Primzahlen schreiben lässt. Warum ausgerechnet π in einer Aussage über Primzahlen auftaucht, ist bis heute nicht wirklich verstanden. Die These: Die Simplexe, Figuren im Kreis, die das Teilungsverhalten der Zahlen zeigen, sind der Schlüssel.
Das Sechseck und die Drei
Seit Archimedes ist bekannt, dass das Sechseck und π eng zusammenhängen. Beim Sechseck ist der Umfang genau dreimal so groß wie der Durchmesser des Umkreises. Mit wachsender Eckenzahl nähert sich das Vieleck dem Kreis und das Verhältnis der Zahl π = 3,14159 …
Die Linien durch die Mitte des Sechsecks entsprechen 6 : 3 oder 2 × 3. Darin liegt ein Bild: Die Drei vor dem Komma steht für den geordneten Sechsertakt der Primzahlzwillinge, die unregelmäßigen Nachkommastellen stehen für die unregelmäßige Verteilung der Primzahlen.
Eingeklappte Quadrate
Einen weiteren Zusammenhang brachte Andreas Weiss 2013 ins Gespräch. Auf jede Seite eines Quadrats setzt man ein gleich großes Quadrat und klappt alle vier nach innen: Sie decken sich vollständig, vier Überlappungen, eine Folge der rechten Winkel. Nimmt man eine Ecke dazu, beim Fünfeck, klappen fünf Quadrate nach innen und überlappen sich nur noch teilweise. Mit weiteren Ecken bleibt die Seitenlänge 1, der Kreis wächst, und die Überlappungen ändern sich.
Quadrate auf den Seiten eines n-Ecks, nach innen geklappt, mit abwechselnder Füllung. Die Anzeige zeigt, wie sich das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser π nähert.
Nach der Rechnung von Andreas Weiss nähert sich die gesamte Schnittfläche der eingeklappten Quadrate, gemessen in Einheitsquadraten, mit wachsender Eckenzahl dem Wert π: beim Viereck 4, beim Fünfeck etwa 3,63, beim 14-Eck etwa 3,195, bei sehr vielen Ecken 3,14159 … Das ist genau die Fläche eines Kreises mit Radius 1. Sein Gedanke: π muss in der Formel für die Kreisfläche nicht nur ein Faktor sein, es lässt sich selbst als Fläche verstehen, die mit dem Quadrat des Radius vervielfacht wird. Der Radius ist dann nur ein Vielfaches des Einheitskreises.
Weitere Beobachtungen an diesen Figuren:
- Beim Fünfeck überlappen sich bis zu vier Quadrate, beim Sechseck drei, beim Siebeneck zwei.
- Ab dem Siebeneck entsteht in der Mitte ein Loch, das mit der Eckenzahl wächst.
- Ab dem Zwölfeck gibt es nur noch einfache Überlappungen.
Dazu passt: 7 ist die Summe von 3 und 4, 12 ihr Produkt. Drei- und Viereck sind genau die beiden Formen, die sich ergeben, wenn man die Mittelpunkte sich berührender Kreise verbindet (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat).
Figuren mit genau einem Vollkreis
Alle Sternfiguren, die aus den Überschneidungen der Quadrate entstehen, haben zwangsläufig die Winkelsumme eines vollen Kreises. Sternpolygone mit genau diesen Winkeln gibt es nur in geraden Simplexen, an diesen Stellen der Divisionstabelle:
| Feld | Figur |
|---|---|
| 4/1 | Polygon |
| 6/2 | Polygon mehrfach |
| 8/3 | Sternpolygon |
| 10/4 | Sternpolygon mehrfach |
| 12/5 | Sternpolygon |
| 14/6 | Sternpolygon mehrfach |
| 16/7 | Sternpolygon |
| … | abwechselnd bis ins Unendliche |
Nur bis 10/4 sind alle vier Prinzipien der Tetraktys enthalten. Danach wiederholen sich die Positionen in Vierer-Abständen.
Der Simplex des Zehnecks. Die Figur 10/4, zwei Pentagramme, hat genau einen Vollkreis als Winkelsumme.
Die 25 und die Kreisfläche
Ein letzter Hinweis: Ein Kreis füllt das umschreibende Quadrat zu π/4 ≈ 78,5 %. Und π × 25 = 78,54, bei 25, der ersten Zahl, an der die Ordnung der Primzahlzwillinge bricht.