Das Lambdoma – Harmonik und Tetraktys
Die Tabelle aller Tonverhältnisse. In der Harmonik ordnet sie die Intervalle, in der Zahlentheorie die Teilbarkeiten, und in ihr treffen sich beide Deutungen der Tetraktys.
Das Lambdoma ist ein um 45° gekipptes Koordinatensystem. Beide Achsen tragen die Zahlen von 1 bis unendlich, und jedes Feld enthält den Bruch aus Zähler und Nenner. Die Dreiecksform, der es den Namen verdankt (nach dem griechischen Buchstaben Λ), soll die innere Symmetrie sichtbar machen.
Die Grundidee stammt aus Platons Timaios: Die Weltseele wird dort nach zwei Zahlenreihen geordnet, 1, 2, 4, 8 und 1, 3, 9, 27, die wie die Schenkel eines Lambda auseinanderlaufen. Im 20. Jahrhundert baute Hans Kayser daraus die zentrale Tabelle seiner Harmonik.
Das Lambdoma bis 8 × 8. Jedes Feld spielt den Ton 220 Hz × Zähler/Nenner. Blau: Oktave, Quinte und Quarte. Gold: die Diagonale, auf der alle Verhältnisse 1 ergeben.
Zwei Töne im rechten Winkel
Musikalisch betrachtet kreuzt das Lambdoma zwei Tonreihen: Die Zeile liefert die Obertöne eines Grundtons, die Spalte seine Untertöne. Auf Geraden durch die Ecke liegen Felder mit demselben Ton (1/2, 2/4, 3/6 …). So entsteht die Symmetrie, die die Harmoniker als Bauplan der Welt deuten.
Die Schnittstelle zur Zahlentheorie
Dieselbe Tabelle ist die Divisionstabelle der Zahlentheorie. Färbt man ihre Felder nach der Teilbarkeit, sieht man den „Matrixcode“ der vier Startfiguren:
Das Lambdoma, gefärbt nach Teilbarkeit. Gelb: teilbar. Grün: gemeinsamer Teiler, nicht teilbar. Rot: teilerfremd, ein neues Verhältnis.
Vertauscht man Zähler und Nenner, tauschen auch die beiden Hälften der Tabelle ihre Kehrwerte. Dabei ändert sich nur eines: Die Felder „teilbar“ (gelb) werden zu Feldern „gemeinsamer Teiler, nicht teilbar“ (grün), und umgekehrt. Die Symmetrie bleibt erhalten.
Gelbe und grüne Felder zeigen Brüche, die sich wiederholen. Rote Felder zeigen neue Verhältnisse. In einem unendlich gedachten Lambdoma beträgt ihre Dichte 6/π².
Das Lambdoma ist deshalb die Brücke zwischen den beiden Tetraktys-Deutungen: der musikalischen nach Kayser, mit den Verhältnissen 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4, und der geometrisch-zahlentheoretischen mit der Summe zehn (siehe Irrtum und Vermutung in der Musiktheorie). Im Lambdoma sollte sich zeigen lassen, dass beide dasselbe meinen, so wie es Philolaos in seiner Schrift über die Zehnzahl beschreibt.