Winkelsummen und Vollkreise
Das Viereck hat als einziges Polygon genau einen Vollkreis als Winkelsumme. Das Zehneck hat mit allen seinen Sternen genau zehn.
Jeder kennt die Regel, dass die Winkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben. Kaum beachtet wird eine andere Tatsache: Das Viereck ist das einzige Vieleck, dessen Innenwinkel sich zu genau einem vollen Kreis summieren, 4 × 90° = 360°. Das Fünfeck hat schon 540°, also anderthalb Kreise, das Sechseck zwei.
Die Gradzahl selbst ist eine menschliche Einteilung und hier unwichtig. Es geht nur um Vielfache des vollen Kreises. In diesem Maß hat ein Vieleck mit n Ecken die Winkelsumme
(n − 2) / 2
Die Sternfiguren mitzählen
Um auf 1 + 2 + 3 + 4 = 10 zu kommen, reicht es nicht, nur die Vielecke zu betrachten. Auch jede eingezeichnete Sternfigur hat eine Winkelsumme. Für den Stern {n/k} beträgt sie in Vollkreisen
(n − 2k) / 2
Jede weitere Figur hat also genau einen Vollkreis weniger als die vorige.
| n | Figuren | Vollkreise je Figur | Summe |
|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 0,5 | 0,5 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1,5 + 0,5 | 2 |
| 6 | 2 | 2 + 1 | 3 |
| 7 | 3 | 2,5 + 1,5 + 0,5 | 4,5 |
| 8 | 3 | 3 + 2 + 1 | 6 |
| 9 | 4 | 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 8 |
| 10 | 4 | 4 + 3 + 2 + 1 | 10 |
| 11 | 5 | 4,5 + 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 12,5 |
| 12 | 5 | 5 + 4 + 3 + 2 + 1 | 15 |
Die Summe der Vollkreise aller Figuren eines Simplex (rot) im Vergleich zur Eckenzahl (gestrichelt). Die Tabelle zeigt die Zusammensetzung für n = 3 bis 12.
Die Tabelle zeigt zwei Wechselbeziehungen:
- Viereck = 1 Vollkreis, Zehneck = 4 Vollkreise. Das Zehneck allein hat vier Vollkreise, so viele, wie die Tetraktys Reihen hat.
- Zehneck mit allen Sternen = 10 Vollkreise. Die Figuren des Zehnecks haben 4 + 3 + 2 + 1 Vollkreise, zusammen zehn. Das Zehneck ist der einzige Simplex, bei dem die Zahl der Ecken gleich der Summe seiner Vollkreise ist: 10 = 10.
Kleinere Simplexe haben weniger Vollkreise als Ecken, größere mehr. Bei der Zehn geht die Schere auseinander, und die Tetraktys ergibt sich unmittelbar aus der Geometrie des Kreises.
Durchzogen von Vierern
Führt man die Reihen weiter, zeigt sich, dass das ganze System von Vierer-Abständen durchzogen ist, und dass es „dezimal codiert“ ist: Die Zehn und ihre Vielfachen tauchen immer wieder als Wendepunkte auf, ganz ohne dass dafür das Dezimalsystem nötig wäre. Wie sich das in der Zahlentheorie zeigt, beschreibt Die Unordnung der Primzahlen.
Ein weiterer Befund aus der Divisionstabelle: Bei der Zahl 25 und dem Teiler 10 stimmen Winkelsumme und Quotient überein, beide sind 2,5. 25 ist zugleich die erste Zahl, bei der ein Primzahlplatz im Sechsertakt leer bleibt.