Bemerkenswertes zur Zahl 24
1 × 2 × 3 × 4 = 24. Vier Sechsertakte vor der 25, 24 Symmetrien des Tetraeders, 24 Kanten im Urfraktal und die Kusszahl der vierten Dimension.
Die Tetraktys hat zwei Gesichter, die Summe und das Produkt:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 × 2 × 3 × 4 = 24
Die 24 ist die letzte Zahl vor 25 = 5 × 5, der Stelle, an der die Ordnung der Primzahlzwillinge aufbricht. Die 24 taucht an erstaunlich vielen Stellen auf.
In der Zahlentheorie
- Vier Sechsertakte. Bis 24 gibt es genau vier Sechsertakte, und in allen sind die Zwillingsplätze vollständig mit Primzahlen besetzt. Die Unordnung beginnt mit 25.
- Sieben Primzahlen. Bis 24 liegen genau sieben Primzahlen im Sechsertakt (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Mit 1, 2 und 3 sind es zehn.
- p² − 1. Nimmt man eine Primzahl größer als 3, quadriert sie und zieht 1 ab, ist das Ergebnis immer durch 24 teilbar: 5² − 1 = 24, 7² − 1 = 48, 11² − 1 = 120. Das folgt aus dem Sechsertakt, denn jede solche Primzahl ist 6n ± 1.
- Primzahlkreuz. In Ringen zu 24 liegen alle Primzahlen ab 5 auf acht Strahlen (siehe Primzahlkreuz).
Die ersten acht Sechsertakte. Bis 24 sind alle Zwillingsplätze Primzahlen. Die 25 ist der erste leere Platz.
In der Geometrie
- Das Urfraktal des Tetraeders hat 10 Ecken und 24 Kanten (siehe Die lückenlose Raumfüllung).
- Das Kuboktaeder, die Anordnung von zwölf Kugeln um eine, hat 24 Kanten. Das Sterntetraeder hat 24 Dreiecksflächen.
- Würfel und Oktaeder: 6 × 4 = 8 × 3 = 24.
- Parkettierungen: Alle Vielecke, die in regelmäßigen und archimedischen Pflasterungen vorkommen, haben eine Eckenzahl, die 24 teilt: 3, 4, 6, 8, 12 (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat).
- Kusszahl: Im vierdimensionalen Raum berühren genau 24 Kugeln eine weitere (siehe Kusszahlen).
Symmetrien des Tetraeders und Gruppentheorie
Einen weiteren Zugang bietet die Gruppentheorie, die Grundlage der modernen Symmetrieforschung. Eine „Gruppe“ ist dort die Menge aller Drehungen und Spiegelungen, die eine Figur auf sich selbst abbilden, sodass sie sich nicht verändert. Komplexe Symmetrien lassen sich aus mehreren Gruppen zusammensetzen.
Das Tetraeder hat 12 Drehungen. Zusammen mit den 12 Abbildungen, die Spiegelungen enthalten (6 Ebenenspiegelungen und 6 Drehspiegelungen), sind es 24. Anders gerechnet: Das Dreieck hat 3 Drehungen und 3 Spiegelungen, und mal die 4 Flächen des Tetraeders ergibt wieder 24. Das sind genau alle Möglichkeiten, die vier Ecken anzuordnen: 1 × 2 × 3 × 4.
Verwandte Themen und Schnittstellen: die „Anatomie des Raumes“ mit dem kubischen Kristallsystem, das Leech-Gitter in der Dimension 24 und die Ordnung der Primzahlen. Außerdem gibt es eine gedankliche Verbindung zum Sefer Jezira, in dem Permutation und Kombinatorik, die Werkzeuge der Gruppentheorie, im Mittelpunkt eines Schöpfungsakts stehen. Daraus ergeben sich zwei Thesen: dass die jüdische Geheimlehre dem Platonismus und Pythagoreismus sehr nahesteht, und dass antike Denker die „moderne“ Gruppentheorie vielleicht schon bewusst angewendet haben.
In Symbolik und Kalender
Die 24 Stunden des Tages, die 24 Ältesten der Offenbarung, der 24. Dezember und der 24. Juni als Johannistag: Diese Spuren behandelt Der Thron Gottes und die Zahl 24. Dabei ist ein nüchterner Einwand zu bedenken: Wer eine Zeiteinteilung erfindet, wählt aus praktischen Gründen eine gerade, hoch zusammengesetzte Zahl, um Brüche zu vermeiden. Die 24 wäre ein Favorit, ganz ohne tiefere Gründe.