Geometrie

Die lückenlose Raumfüllung

Tetraeder und Oktaeder füllen gemeinsam den Raum. Ihr kleinstes gemeinsames Fraktal hat 10 Ecken und 24 Kanten: 1 + 2 + 3 + 4 und 1 × 2 × 3 × 4.

Der amerikanische Ingenieur und Visionär Richard Buckminster Fuller (1895–1983) legte 1975 mit Synergetics eine eigene Kosmologie und Entwurfslehre vor. Ihre Grundannahme: Das Tetraeder und seine Beziehung zur Kugel liefern die mathematische Vorlage des Universums. Sein Raumgitter, die Isotropic Vector Matrix, ist genau die Struktur, die schon 400 Jahre früher Johannes Kepler beschäftigt hatte. Kepler war beim Studium der sechszähligen Schneeflocken auf die Frage gestoßen, wie dicht sich Kreise und Kugeln packen lassen. Die dichteste Packung heißt deshalb auch Keplersche Kugelpackung, korrekt kubisch flächenzentriertes Gitter.

Die Struktur vieler Metalle folgt diesem Gitter, weil Kristalle das Volumen möglichst klein halten. Im Umkehrschluss könnte man sagen: Die Materie folgt der „Anatomie des Raumes“. Energie wie Licht, Wärme und Schall breitet sich von einer Quelle kugelförmig aus, und von den Atomen bis zu den Sternen ist die Kugel die Grundform der Natur. Vielleicht ist dieses Gitter also weit mehr als eine Frage der Kristallographie. Vermutlich steht es auch hinter dem Schöpfungsbericht des Sefer Jezira, des ältesten Buchs der Kabbala (siehe Die Kabbala).

Tetraeder und Oktaeder

Setzt man auf jede Fläche eines Oktaeders ein Tetraeder gleicher Kantenlänge, bedeckt dessen freie Flächen wieder mit Oktaedern und so fort, füllt man den ganzen Raum lückenlos. An jeder Fläche sitzt ein Körper der jeweils anderen Sorte. Stapelt man Tetraeder Ecke an Ecke, entstehen Oktaeder-Lücken, und es ergibt sich ein Tetraeder-Fraktal. Stapelt man Oktaeder, entstehen Tetraeder-Lücken und ein Oktaeder-Fraktal. Beide Pyramiden, die dreieckige und die quadratische, sind Teile derselben Struktur, nur aus verschiedenen Richtungen gesehen.

Ziehen zum Drehen

Ein Ausschnitt aus dem Raumgitter. Jede Kante gehört zugleich zu Tetraedern und Oktaedern.

Aus den winkligen Körpern werden Kugeln, wenn man jede Ecke zu einer Kugel aufbläst, bis alle einander berühren. Das ist die Keplersche Kugelpackung, die dichteste überhaupt. Bewiesen hat das erst Thomas Hales im Jahr 1998. Die Ecken der Kristallkörper liegen immer in den Kugelmittelpunkten, und gleich große Kugeln erzeugen gleiche Abstände, also regelmäßige Körper.

Das Sterntetraeder

Das Sterntetraeder, auch Keplerstern oder Stella octangula genannt, ist der Ausschnitt aus diesem Gitter, dem das Gitter seinen Namen verdankt. Die Mittelpunkte der acht äußeren Kugeln bilden einen Würfel. Sie umschließen sechs innere Kugeln, die den Oktaederkern bilden, und jede davon sitzt genau in der Mitte einer Würfelfläche. Daher der Name: kubisch flächenzentriert.

Man kann das Sterntetraeder auf drei Arten verstehen:

1. Auf jeder der acht Flächen eines Oktaeders sitzt ein Tetraeder.
2. Zwei große Tetraeder durchdringen sich. Ihre Schnittmenge ist ein kleines Oktaeder.
3. Man schneidet aus einem Würfel entlang der zwölf Kanten Keile bis zu den Flächenmitten heraus.

Sterntetraedermit Würfelmit Kugeln

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Das Sterntetraeder, allein, im umschließenden Würfel und als Kugelpackung (8 Würfelecken + 6 Flächenmitten).

Volumenverhältnisse

Bei gleicher Kantenlänge hat ein Oktaeder genau das vierfache Volumen eines Tetraeders. Der Würfel um ein Sterntetraeder enthält 8 Tetraeder, dazu 12 Viertel-Oktaeder an den Kanten und ein ganzes Oktaeder in der Mitte, zusammen also 4 Oktaeder und 8 Tetraeder. Das entspricht 24 Tetraedern oder 6 Oktaedern. Das Sterntetraeder selbst hat genau die Hälfte des Würfelvolumens.

Verdoppelt man die Kantenlänge, also einen Schritt im Fraktal, wächst jedes Volumen auf das Achtfache: Die Oktaeder-Anteile versechsfachen sich, die Tetraeder-Anteile vervierfachen sich. Im ganzen Gitter gibt es doppelt so viele Tetraeder wie Oktaeder, aber weil das Oktaeder das vierfache Volumen hat, entfällt auf die Oktaeder insgesamt doppelt so viel Raum wie auf die Tetraeder.

Das Urfraktal: 10 Ecken, 24 Kanten

Punkt, Linie, Dreieck und Tetraeder zeigen die Vierheit von Ecke, Kante, Fläche und Raum, aber noch keine sinnvolle Zehn. Das Tetraeder hat außerdem eine Schwäche: Allein kann es den Raum nicht füllen.

Was passiert, wenn aus dem Tetraeder, dem Vertreter unserer dritten Dimension, ein Fraktal wird? Der erste Teilungsschritt halbiert alle sechs Kanten. Die sechs Halbierungspunkte sind die Ecken eines Oktaeders. Aus 4 Ecken und 6 Kanten werden 10 Ecken und 24 Kanten: vier kleine Tetraeder und ein Oktaeder in der Mitte.

KantenZellenKugeln

Ziehen zum Drehen

Das Tetraeder nach dem ersten Teilungsschritt: vier Tetraeder (rot) um ein Oktaeder (blau). Als Kugeln gestapelt sind es 1 + 3 + 6 = 10.

Darin zeigt sich die Verbindung zur Tetraktys:

1. Nach diesem ersten Schritt passiert nichts Neues mehr, denn Tetraeder und Oktaeder füllen den Raum ohne Ende.
2. Dieses raumfüllende Urfraktal hat 10 Ecken und 24 Kanten: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 und 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Beide Zahlen spielen auch in der Verteilung der Primzahlen eine Rolle (siehe Die Zahl 24).
3. Es enthält zwei Sorten Zellen im Verhältnis 1 : 2, mit Volumina im Verhältnis 1 : 4. Die beiden kleinsten Zellen stehen im Gleichgewicht.

Als Kugeln gestapelt hat das Urfraktal die Schichten 1, 3 und 6, zusammen 10 Kugeln. Das ist wieder der Gleichstand aus dem Punktedreieck: Die Summe vor dem Zehnerdreieck ist zehn.

Schichten

Drei Kugelschichten zu 1, 3 und 6 ergeben die zehn Kugeln des Urfraktals.

Die Tetraktys der Körper

Mit wachsender Verdichtung bildet das Tetraeder-Oktaeder-Gitter zwei weitere wichtige Körper, zusammen also vier:

0. Tetraeder
1. Tetraeder + Oktaeder
2. Tetraeder + Oktaeder + Kuboktaeder
3. Tetraeder + Oktaeder + Kuboktaeder + Sterntetraeder (im Würfelumriss)

Kuboktaeder und Sterntetraeder sind durch Dualität und Durchdringung mit zwei weiteren Körpern verbunden: dem Rhombendodekaeder und dem Würfel. Beide setzen sich nicht direkt aus Tetraedern und Oktaedern zusammen, aber über neue Verbindungen der Kugelmittelpunkte spannen sie ein eigenes Gitter auf, und beide füllen den Raum auch mit sich selbst. Kuboktaeder und Sterntetraeder sind in dieser Sicht die Vermittler zwischen dem alten Tetraeder-Oktaeder-Netz und dem neuen Gitter.

Die Raumwinkelsumme einer vollen Kugel

In der Ebene müssen sich die Winkel um jeden Eckpunkt einer Parkettierung zu einem Vollkreis ergänzen. Im Raum müssen die Raumwinkel um jeden Eckpunkt eine volle Kugel ergeben. Die Körper, die das leisten, bestehen wieder nur aus Drei- und Vierecken und haben nur 3-, 4- und 6-zählige Symmetrien.

Um einen Kugelmittelpunkt spannen sich dabei zwei zueinander komplementäre Formen: das nach außen gezackte Sterntetraeder und das nach außen gewölbte Kuboktaeder. Beim Kuboktaeder zeigen die Ecken der Tetraeder und Oktaeder nach innen, zum Kugelmittelpunkt. Beim Sterntetraeder zeigen sie nach außen. Jeder Knoten im Gitter ist Ecke von 6 Oktaedern und 8 Tetraedern. Genau diese Anordnung bildet ein Kuboktaeder. Weil in beiden Drei-, Vier- und Sechszähligkeit zusammentreffen, haben sie 12 und 24 als Grundzahlen ihrer Symmetrie. Ihre kleinsten Zellen aber bleiben Tetraeder und Oktaeder.