Kusszahlen, Kugelpackungen und die Zahl 24
2 Linien um eine, 6 Kreise um einen, 12 Kugeln um eine, 24 Hyperkugeln um eine: die Kusszahlen der ersten vier Dimensionen.
Die Kusszahl einer Dimension ist die größte Anzahl gleich großer Kugeln, die eine weitere Kugel gleichzeitig berühren können, ohne einander zu überlappen. Etwas anschaulicher: Wie viele Nachbarkugeln passen höchstens um eine Zentralkugel?
- Dimension 1: Die „Kugel“ ist eine Strecke, an jedes Ende passt eine weitere. Kusszahl 2.
- Dimension 2: Um einen Kreis passen genau sechs gleich große Kreise. Kusszahl 6.
- Dimension 3: Um eine Kugel passen genau zwölf. Kusszahl 12.
- Dimension 4: Erst zu Beginn des 21. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass es 24 sind.
Außerdem kennt man die Kusszahlen in 8 Dimensionen (240) und in 24 Dimensionen (196 560). Im 24-dimensionalen Raum liegen die Kugeln auf dem Leech-Gitter, so dicht, dass kein Platz übrig bleibt. Für alle anderen Dimensionen kennt man nur Schranken. Eine allgemeine Formel fehlt.
In der Ebene: sechs Kreise um einen siebten. Das ist ein Ausschnitt aus der dichtesten Kreispackung.
Zwölf um eine
Im Raum liegen die zwölf Nachbarkugeln wie im kubisch flächenzentrierten Gitter. Verbindet man ihre Mittelpunkte, erhält man ein Kuboktaeder. Es lässt sich als vier ineinander verschränkte Sechsecke lesen, 4 × 6 = 24, und es hat genau 24 Kanten.
Zwölf Kugeln um eine dreizehnte. Die Mittelpunkte bilden ein Kuboktaeder mit 12 Ecken und 24 Kanten.
Warum die 24 im Raum wichtig ist
Die Flächen in den Kristallgittern von Kugelpackungen sind ausschließlich Dreiecke, Quadrate oder daraus gebildete Sechsecke. Die wichtigsten Körper dieser Gitter:
| Körper | Flächen | Produkt |
|---|---|---|
| Würfel | 6 Quadrate | 6 × 4 = 24 |
| Oktaeder | 8 Dreiecke | 8 × 3 = 24 |
| Sterntetraeder | 24 Dreiecke | 24 |
| Kuboktaeder | 8 Dreiecke + 6 Quadrate | 3 × 8 = 4 × 6 = 24 |
| Tetraeder | 4 Dreiecke | 4 × 3 = 12 = 24 : 2 |
Weil die Gitter echte Fraktale sind, dreidimensionale Sierpinski-Tetraeder und -Oktaeder, teilt sich im ersten Schritt jede Fläche in so viele Teilflächen, wie sie Ecken hat. Das Oktaeder bekommt so 3 × 8 = 24 Teilflächen, der Würfel 4 × 6 = 24, das Tetraeder 3 × 4 = 12. Schneidet man vom Oktaeder-Fraktal der ersten Stufe die Spitzen ab, erhält man wieder ein Kuboktaeder.
Wenn die Geometrie der lückenlosen Raumfüllung auf so vielen Wegen mit der 24 verbunden ist, stellt sich die Frage: Hat diese hoch zusammengesetzte Zahl nicht nur mit der Verteilung der Primzahlen zu tun (siehe Die Zahl 24), sondern mit dem Raum selbst? Auch in den Überlegungen von Peter Plichta trägt die 24 im Zusammenhang mit einem vierdimensionalen Raum die Hauptrolle, obwohl Plichta Kusszahlen und Kugelpackungen nicht erwähnt. Seine Theorien sind über 20 Jahre älter als der Beweis der Kusszahl 24.
Die Kusszahlen in der christlichen Symbolik
Den Kusszahlen steht eine auffällige Reihe aus der christlichen Überlieferung gegenüber:
| Dimension | Kusszahl | Symbolik |
|---|---|---|
| 1 | 2 um 1 | die Dreieinigkeit: Sohn und Geist um den Vater |
| 2 | 6 um 1 | sechs Schöpfungstage und der siebte als Ruhetag |
| 3 | 12 um 1 | zwölf Jünger um Jesus als den dreizehnten |
| 4 | 24 um 1 | die 24 Ältesten um den Thron Gottes in der Offenbarung des Johannes |
Weitere Deutungen: Die Drei schafft den Sechsertakt der Primzahlzwillinge. Die Sieben gilt als göttliche Zahl, mit sieben Wochentagen und dem Sonntag als Tag des Herrn. Die Dreizehn steht für Verwandlung und die Überwindung des Todes. Die 24 erinnert an Heiligabend, die 25 an den Weihnachtstag, an dem nach dieser Deutung das Göttliche in die Materie eintritt. Die 25 ist keine Primzahl mehr, sondern 5 × 5. Primzahlen, nur durch sich selbst und eins teilbar, werden hier zum Bild der Einheit. Die Zahlen 1 × 2 × 3 schaffen mit dem Sechsertakt eine „göttliche Ordnung“, die Fünf zerschlägt diese kristalline Ordnung wieder und schafft Vielfalt. Das Pentagramm steht für den Goldenen Schnitt, der als Prinzip des Lebens gilt, und die Fünf als Zahl des Menschen.
So ergibt sich, diesmal wirklich über vier Dimensionen, wieder eine Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 und, wie beim Kuboktaeder, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 = 1 × 2 × 3 × 4. Das entspricht den vier Sechsertakten der Primzahlzwillinge bis 24. Die vierte Dimension steht hier, wie beim 5-Zeller, für den Eintritt ins Transzendente und für die Verkörperung geistiger Prinzipien. In der Kabbala heißt es dazu: Malkuth ist Kether und Kether ist Malkuth. Das Göttliche offenbart sich in der Materie, die Materie offenbart das Göttliche.
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