Simplex – multidimensionale Tetraeder
Jeder neue Eckpunkt hebt das Tetraeder in eine weitere Dimension. Das Pascalsche Dreieck ist die vollständige Tabelle dieser Körper, und der 5-Zeller trägt ein Pentagramm in sich.
Die Folge Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder bricht nach der dritten Dimension nicht ab. Mit jedem weiteren Punkt, der mit allen anderen verbunden wird, entsteht der Simplex der nächsten Dimension. In der Ebene gezeichnet sieht man ihn als Vieleck mit allen Diagonalen. Das Tetraeder zum Beispiel erscheint als Quadrat mit beiden Diagonalen, wenn man frontal auf eine seiner Kanten schaut.
Zweidimensionale Projektionen der Simplexe: Die Figur mit vier Punkten ist das Tetraeder, von vorn auf eine Kante gesehen. Fünf Punkte ergeben den vierdimensionalen 5-Zeller.
Das Pascalsche Dreieck als Simplex-Tabelle
Das Pascalsche Dreieck enthält entlang seiner Schrägen der Reihe nach die Einsen, die natürlichen Zahlen, die Dreieckszahlen, die Tetraederzahlen und dann die Zahlen der höheren Dimensionen. Zugleich zählt jede Zeile die Bestandteile eines Simplex: Der n-dimensionale Simplex hat so viele Ecken, Kanten, Dreiecke und Tetraeder, wie die Zeile n + 1 angibt.
Pascalsches Dreieck. Die ungeraden Zahlen sind gefärbt und bilden das Sierpinski-Dreieck. Die Knöpfe heben die Schrägen hervor.
| Simplex | Ecken | Kanten | Dreiecke | Tetraeder | Zellen |
|---|---|---|---|---|---|
| Punkt (0D) | 1 | ||||
| Strecke (1D) | 2 | 1 | |||
| Dreieck (2D) | 3 | 3 | 1 | ||
| Tetraeder (3D) | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5-Zeller (4D) | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Die Tetraktys des Raumes
Punkt, Linie, Dreieck und Tetraeder haben zusammen 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Ecken. Diese „Tetraktys des Raumes“ wird oft gezeigt, um die Vierheit anschaulich zu machen. Punkte bloß zusammenzuzählen gibt der Zehn aber noch keinen Sinn.
Anders sieht es aus, wenn man die Kanten betrachtet. Die Dreieckszahlen im Punktedreieck zählen nicht die Ecken, sondern die Kanten der Simplexe: 1, 3, 6, 10. Dem Zehn-Punkte-Dreieck entspricht damit das Tetraeder der vierten Dimension mit seinen zehn Kanten.
Der 5-Zeller
Das vierdimensionale Tetraeder heißt 5-Zeller oder Pentatop. So wie die Strecke aus zwei Punkten besteht, das Dreieck aus drei Strecken und das Tetraeder aus vier Dreiecken, besteht der 5-Zeller aus fünf Tetraedern. In der Ebene gezeichnet ist er ein Fünfeck mit eingezeichnetem Pentagramm, dem Erkennungszeichen der Pythagoreer.
Der 5-Zeller, in der vierten Dimension gedreht und in den Raum projiziert. Die fünf Tetraeder scheinen dabei ineinander zu wachsen.
Einen echten Eindruck von vier Dimensionen wird ein dreidimensionales Wesen nie haben. Die Projektion ist ein Schattenbild, aber sie gibt eine Ahnung.
Der Grenzüberschreiter
Hier wird die Betrachtung ausdrücklich philosophisch. Der Raum lässt sich lückenlos mit Dreiecks- und Vierecksformen füllen (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat), mit Fünfecken aber nicht. Das Pentagramm im 5-Zeller überschreitet also die Grenze des dreidimensionalen Raumes. Es ist deshalb der Grenzüberschreiter, Hermes, der Götterbote.
Man kann den Gedanken weiterführen: Eine vierdimensionale Welt, in der Körper einander durchdringen, würde uns zerstören. Vielleicht begegnet uns dieses Ineinander aber im Kleinen täglich: überall dort, wo Lebewesen einander verdrängen, verschlingen und ersetzen. Die Physik nennt die Zeit die vierte Dimension. Ob zwei Körper denselben Ort beanspruchen, hängt allein davon ab, ob sie zur selben Zeit dort sind. So erscheint das Pentagramm als Prinzip von Zeit, Materie und Leben. Die vierte Dimension steht zugleich für den Eintritt ins Transzendente und für die Verkörperung geistiger Prinzipien in der Materie. Der dreidimensionale Raum schafft die Rahmenbedingungen, und in ihm offenbart sich das Göttliche in der Materie, wie die Materie das Göttliche offenbart.
Dasselbe Motiv zeigt sich bei den fraktalen Vielecken: Ab dem Fünfeck überlagern sich die Teilfiguren, und ihre Schnittmenge bildet ein Pentagramm. Das Quadrat dagegen, dessen vier rechte Winkel genau einen Vollkreis ergeben, steht für Einheit und Vollständigkeit.