Die platonischen Körper und die Tetraktys
Fünf vollkommene Körper, zwei duale Paare und ein Körper, der mit sich selbst dual ist, zugeordnet den Startfiguren der Tetraktys.
Die fünf platonischen Körper. „Dualkörper“ zeigt die Figur, die ihre Flächenmitten bilden.
Es gibt genau fünf Körper, deren Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an deren Ecken gleich viele Flächen zusammenstoßen: Tetraeder, Würfel (Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Verbindet man die Flächenmitten eines solchen Körpers, erhält man seinen Dualkörper:
- Das Tetraeder ist mit sich selbst dual.
- Oktaeder und Würfel sind zueinander dual.
- Ikosaeder und Dodekaeder sind zueinander dual.
Alle lassen sich aus Tetraedern aufbauen: das Oktaeder als Schnittmenge von zwei Tetraedern, der Würfel als ihre Hülle, das Ikosaeder aus fünf Tetraedern (nach außen gewölbt), das Dodekaeder aus fünf Tetraedern (nach innen). Umgekehrt lässt sich jeder Körper durch mehrere der anderen beschreiben. Ein Dodekaeder zum Beispiel aus fünf Würfeln oder fünf Oktaedern.
Zuordnung zu den Startfiguren
Die Körper lassen sich den vier Startfiguren zuordnen, über die Figur, die man sieht, wenn man entlang einer Symmetrieachse auf den Körper schaut:
Die vier Startfiguren: Dreieck, Hexagramm, Pentagramm und doppeltes Pentagramm.
| Körper | Symmetrieansicht | Startfigur |
|---|---|---|
| Tetraeder | Dreieck auf einer Fläche | Dreieck (3) |
| Oktaeder und Würfel | sechszählig, entlang der Raumdiagonale | Hexagramm (6 : 2) |
| Ikosaeder und Dodekaeder | fünfzählig und zehnzählig | Pentagramm (5 : 2) und doppeltes Pentagramm (10 : 4) |
Dass die Primzahlen 3 und 5 sich verdoppeln, Dreieck zu Sechsstern, Fünfstern zu Zehnstern, ist nach dieser Deutung eine Folge von geraden und ungeraden Zahlen (siehe Zahlentheorie). Aufrecht und gestürzt gezeichnet zeigen die Startfiguren die beiden dualen Paare, 2 × 2 = 4, eine Tetraktys. Das Tetraeder als einziger selbstdualer Körper steht damit in einer fraktalen Rangfolge über den übrigen vier.
Die Sternkörper
Man sagt, die fünf platonischen Körper seien neben der Kugel die einzigen vollkommen symmetrischen Körper. Das stimmt nur bedingt. Zu ihnen gehören auch die Sternkörper: die vier Kepler-Poinsot-Körper und das Sterntetraeder. Sie entsprechen den Sternpolygonen der Startfiguren, so wie die platonischen Körper den Vielecken entsprechen.
Offene Fragen
Weiter zu untersuchen sind:
- die Raumwinkelsummen der platonischen Körper, gemessen in vollen Kugeln, im Vergleich zu den Vollkreisen der Startfiguren,
- die Sicht der Simplexe als zweidimensionale Projektionen höherdimensionaler Tetraeder, und der platonischen Körper als „Zerrbild“ unserer dreidimensionalen Erfahrung.