Das Punktedreieck – nur 1 + 2 + 3 + 4 = 10?
Warum gerade die Zehn? Drei Beobachtungen, bei denen genau an dieser Stelle eine Zahlenreihe die andere einholt.
Oft wird die Zehn der Tetraktys mit unseren zehn Fingern und dem Dezimalsystem erklärt. Diese Seite vertritt eine andere These: Die Zehn ist keine menschliche Festlegung. Sie ergibt sich aus der Folge der natürlichen Zahlen und der Geometrie, die zu ihnen gehört. Drei Beispiele zeigen, was damit gemeint ist. In allen dreien passiert bei der Zehn dasselbe: Zwei Zahlenreihen, die bis dahin auseinanderliegen, treffen sich, und danach geht die „Schere“ in die andere Richtung auf.
Beispiel 1: Das Punktedreieck selbst
Legt man die Punktedreiecke der Reihe nach nebeneinander (1, 3, 6, 10, 15 …) und zählt jeweils alle Punkte der vorhergehenden Dreiecke zusammen, so bleibt diese Summe zunächst kleiner als das nächste Dreieck. Bei der Zehn ist sie genau gleich groß: 1 + 3 + 6 = 10. Ab dann ist die Summe immer größer.
| n | Dreieckszahl T(n) | Summe aller T davor | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | > | 0 |
| 2 | 3 | > | 1 |
| 3 | 6 | > | 4 |
| 4 | 10 | = | 10 |
| 5 | 15 | < | 20 |
| 6 | 21 | < | 35 |
| 7 | 28 | < | 56 |
| 8 | 36 | < | 84 |
Links: im 6er-Dreieck kommen zu drei Punkten drei neue hinzu, ein erster Gleichstand. Rechts: die Punkte aller Dreiecke vor dem 10er-Dreieck ergeben zusammen wieder zehn.
Die Summen in der rechten Spalte sind die Tetraederzahlen. Dass Dreiecks- und Tetraederzahl bei der Zehn zusammenfallen, lässt sich auch räumlich sehen: Ein Tetraeder aus drei Kugelschichten (1 + 3 + 6) enthält zehn Kugeln, genauso viele wie die unterste Schicht des nächsten Tetraeders. Mehr dazu unter Vom Punkt zum Körper.
Beispiel 2: Die Winkelsummen der Simplexe
Zeichnet man in ein n-Eck alle möglichen Sternpolygone ein, erhält man den Simplex. Addiert man die Innenwinkel aller dieser Figuren und rechnet in ganzen Kreisen (360°), so hat das Viereck genau einen Vollkreis. Kleinere Simplexe haben weniger Vollkreise als Ecken, größere mehr. Nur beim Zehneck sind es genau zehn Vollkreise.
| n | Figuren | Vollkreise je Figur | Summe |
|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 0,5 | 0,5 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1,5 + 0,5 | 2 |
| 6 | 2 | 2 + 1 | 3 |
| 7 | 3 | 2,5 + 1,5 + 0,5 | 4,5 |
| 8 | 3 | 3 + 2 + 1 | 6 |
| 9 | 4 | 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 8 |
| 10 | 4 | 4 + 3 + 2 + 1 | 10 |
| 11 | 5 | 4,5 + 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 12,5 |
| 12 | 5 | 5 + 4 + 3 + 2 + 1 | 15 |
Rote Linie: Summe der Vollkreise aller Figuren im Simplex. Gestrichelt: die Eckenzahl. Die Linien kreuzen sich beim Zehneck.
Die Summe der Vollkreise wächst dabei selbst in Dreieckszahlen: Beim Zehneck ist sie 4 + 3 + 2 + 1 = 10, also wieder die Tetraktys. Ausführlich unter Winkelsummen und Vollkreise.
Beispiel 3: Die fraktalen Vielecke
Das Sierpinski-Dreieck entsteht, indem man ein Dreieck durch drei halb so große Dreiecke an seinen Ecken ersetzt. Dasselbe Verfahren lässt sich auf jedes n-Eck übertragen: An jede Ecke kommt eine halb so große Kopie. Beim Viereck füllen die vier Kopien das Quadrat lückenlos aus. Ab dem Fünfeck überlappen sie sich, und in den Überschneidungen entstehen kleine Vierecke.
Die erste Stufe des Sierpinski-Verfahrens für n-Ecke. Abwechselnde Füllung macht die Überschneidungen sichtbar. Beim Zehneck ordnen sich die Vierecke eines Teil-Zehnecks von außen nach innen in Reihen zu 1, 2, 3 und 4.
Jedes der zehn Teil-Zehnecke enthält genau zehn solcher Vierecke. Kleinere Vielecke enthalten weniger, größere mehr, und wieder ordnen sie sich in den Reihen der Tetraktys. Mehr dazu unter Fraktale Vielecke.
Was dahintersteckt
Allen drei Beispielen liegt die Folge der Dreieckszahlen zugrunde, die das Punktedreieck unmittelbar zeigt. Die These lautet: Pythagoras hatte an den zehn Zählsteinen nicht bloß eine hübsche Summe entdeckt. Er hatte etwas vor Augen, das in Geometrie und Zahlentheorie immer wieder an derselben Stelle auftaucht. Zwei weitere Beobachtungen führen in die Zahlentheorie:
- Die Drei erzeugt, als Punkteraster gedacht, den Sechsertakt, in dem sich die Primzahlzwillinge ordnen. Geometrisch entspricht ihr der Schritt vom Dreieck zum Sechsstern. Siehe Die Ordnung der Primzahlen.
- Die Fünf bricht diese Ordnung ab 25 = 5 × 5 wieder auf. Geometrisch entspricht ihr das Pentagramm, rechnerisch 5 : 2 = 2,5. Siehe Die Unordnung der Primzahlen.