Vom Punkt zum Körper
Die vier Reihen der Tetraktys als die vier Stufen des Raumes, und wie aus gestapelten Dreiecken ein Tetraeder wird.
Eine der ältesten Deutungen der Tetraktys liest ihre vier Reihen als Stufen der Dimension:
- Ein Punkt hat keine Ausdehnung.
- Zwei Punkte bestimmen eine Linie, die erste Dimension.
- Drei Punkte, die nicht auf einer Linie liegen, spannen eine Fläche auf, ein Dreieck.
- Vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, schließen einen Körper ein, das Tetraeder.
Mit vier Punkten ist also der dreidimensionale Raum vollständig. Das Tetraeder ist der einfachste Körper, den es gibt: Es hat vier Ecken, sechs Kanten und vier Dreiecksflächen, und jede Ecke ist mit jeder anderen verbunden.
Die Tetraktys im Raum
Man kann die Figur auch wörtlich in den Raum heben. Dazu legt man Kugeln in eine Dreiecksform aus 10 Kugeln, darauf eine Schicht aus 6, darauf 3 und obenauf eine einzelne. Es entsteht eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, ein Tetraeder aus Kugeln. Jede Schicht ist dabei selbst eine Dreieckszahl.
Jede Schicht ist ein Punktedreieck. Zusammen ergeben 1 + 3 + 6 + 10 = 20 Kugeln ein Tetraeder. Ziehen dreht das Modell.
Die Gesamtzahlen heißen Tetraederzahlen: 1, 4, 10, 20, 35, 56 … Auffällig ist, dass die Zehn hier gleich zweimal auftaucht: als vierte Dreieckszahl und als dritte Tetraederzahl.
Te(n) = n · (n + 1) · (n + 2) / 6
Die Anordnung im Modell ist übrigens kein Zufall. So stapelt ein Obsthändler Orangen, und so ordnen sich in vielen Metallen die Atome an. Es ist die dichteste Art, gleich große Kugeln zu packen. Johannes Kepler vermutete das schon 1611, bewiesen wurde es erst 1998.
Und weiter?
Das Muster bricht beim Tetraeder nicht ab. Nimmt man einen fünften Punkt hinzu und verbindet ihn mit allen vier Ecken, entsteht die vierdimensionale Entsprechung des Tetraeders. Solche Figuren heißen Simplexe. Man kann sie nicht mehr bauen, aber zeichnen, und dabei zeigen sie eine überraschende innere Ordnung. Davon handelt die nächste Seite.