Die Tetraktys in den fraktalen Vielecken
Das Sierpinski-Verfahren auf n-Ecke übertragen. Ab dem Fünfeck überlappen die Teile, und beim Zehneck ordnen sich die Überschneidungen zu 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Das Sierpinski-Dreieck ist das bekannteste Fraktal. Über das Pascalsche Dreieck hängt es eng mit der Zahlentheorie zusammen: Die ungeraden Einträge dort bilden genau dieses Muster (siehe Multidimensionale Tetraeder).
Das Sierpinski-Dreieck: Jedes Dreieck wird durch drei halb so große an seinen Ecken ersetzt.
Das Chaosspiel
Es gibt eine verblüffend einfache Art, das Sierpinski-Dreieck zu erzeugen. Man beginnt an einem beliebigen Punkt, wählt zufällig eine Ecke des Dreiecks, geht die halbe Strecke dorthin und setzt einen Punkt. Das wiederholt man. Nach ein paar hundert Schritten ist das Fraktal zu erahnen, nach zehntausenden ist es klar. Für andere Vielecke muss man etwas weniger als die Hälfte gehen, damit sich die Teile gerade berühren. Beim Fünfeck ergibt das ein schönes, deutlich fraktales Muster.
Das Chaosspiel. Mit dem Regler lässt sich die Zahl der Ecken ändern.
Die strengen Regeln
Überträgt man die Regeln des Sierpinski-Dreiecks dagegen streng auf andere Vielecke, sieht das Ergebnis zunächst unspektakulär aus:
- Die Teilfiguren liegen im Vieleck selbst.
- Es entstehen so viele Teilfiguren, wie das Vieleck Ecken hat.
- Die Seiten halbieren sich in jedem Schritt.
Beim Dreieck entstehen Lücken zwischen den Teilen. Beim Quadrat nicht mehr: Vier halbe Quadrate füllen das große lückenlos, weil das Quadrat mit sich selbst pflasterbar ist. Ab dem Fünfeck müssen sich die Teile überschneiden und gruppieren sich um einen gemeinsamen Mittelpunkt. Das Viereck ist das letzte Fraktal ohne Überschneidungen.
Die strenge Übertragung. Der zweite Regler zeigt weitere Stufen. Beim Fünfeck bleibt in der Mitte ein Loch, und jede weitere Stufe stanzt ein um 180° gedrehtes Fünfeck aus jedem Teil.
Im Fünfeck entsteht in der Mitte ein Loch, genau wie im Sierpinski-Dreieck, und jede weitere Stufe stanzt aus jedem der fünf Teile wieder ein Loch, ein auf den Kopf gestelltes Fünfeck. Solche Löcher entstehen nur bei ungeraden Vielecken. Ab dem Siebeneck lassen die vielfachen Überlappungen in den weiteren Stufen keine Löcher mehr zu. Es bleibt nur das Loch in der Mitte der ersten Stufe.
Damit ist der Kern der Tetraktys schon sichtbar: Nur Dreieck und Quadrat teilen sich sauber in sich selbst, genau wie sie allein Ebene und Raum lückenlos füllen und die Gitter der Kugelpackungen bilden. Ab dem Fünfeck überlappen sich die Vielecke. Die Fünf ist der Grenzüberschreiter des Raumes.
Das Zehneck
So wie sich das Sierpinski-Dreieck in drei Dreiecke gliedert, gliedert sich das fraktale Zehneck der ersten Stufe in zehn Zehnecke, die sich überlagern. Durch die Überschneidungen benachbarter Zehnecke entstehen im ganzen Fraktal 40 Vierecke. Jedes der zehn Teil-Zehnecke enthält genau zehn Vierecke. Die Überschneidungen werden dabei von sechs benachbarten Zehnecken erzeugt. Kleinere Vielecke enthalten weniger Vierecke als Ecken, größere mehr.
Und wieder ordnen sie sich wie die Tetraktys: von außen zur Mitte in Reihen von 1, 2, 3 und 4.
Das fraktale Zehneck der ersten Stufe. Die abwechselnde Füllung macht die kleinen Vierecke in den Überschneidungen sichtbar.
Drei und Fünf
In dieser Geometrie steckt ebenso viel Information über die Primzahlen wie in den Simplexen. Die Vielecke, die sich durch ihr Erscheinungsbild von allen anderen abheben, das Dreieck und das Fünfeck, sind auch in der Primzahlfrage federführend: Die Drei erzeugt im Sieb des Eratosthenes den Sechsertakt der Primzahlzwillinge, die Fünf zerhackt diese Ordnung wieder. Siehe Die Ordnung der Primzahlen.