Simplexe und Sternpolygone
Wenn jeder Punkt mit jedem verbunden wird, zerfallen die Linien in Sterne, und die Anzahl der Linien ist wieder eine Dreieckszahl.
Ein Simplex ist die einfachste Figur, die eine Dimension ausfüllen kann: in null Dimensionen ein Punkt, in einer eine Strecke, in zwei ein Dreieck, in drei ein Tetraeder. Das Bauprinzip ist immer dasselbe: Man nimmt einen neuen Punkt hinzu und verbindet ihn mit allen bisherigen.
Ab vier Dimensionen lassen sich Simplexe nicht mehr bauen, aber sie lassen sich in die Ebene projizieren. Am übersichtlichsten wird das, wenn man die Ecken gleichmäßig auf einen Kreis setzt und jede mit jeder verbindet.
Die Knöpfe blenden die einzelnen Sternpolygone ein und aus. Bei fünf Punkten besteht der Simplex aus einem Fünfeck und einem Pentagramm.
Die Kanten ordnen sich zu Sternen
Auf den ersten Blick ist das ein Gewirr von Linien. Sortiert man die Linien aber danach, wie viele Plätze sie auf dem Kreis überspringen, fällt das Bild in regelmäßige Figuren auseinander:
- Linien zum direkten Nachbarn bilden den Umriss, ein regelmäßiges Vieleck.
- Linien zum übernächsten Punkt bilden einen Stern, bei fünf Punkten das Pentagramm.
- Größere Sprünge ergeben weitere, spitzere Sterne.
In der Mathematik schreibt man solche Sterne als {n/k}: n Punkte, jeder mit dem k-ten Nachbarn verbunden. Jeder Simplex ist also nichts anderes als ein Satz ineinandergeschachtelter Sternpolygone.
Die Dreieckszahl kehrt zurück
Zählt man die Linien, ergibt sich etwas Bekanntes. Bei n Punkten hat der erste Punkt n − 1 Verbindungen, der zweite noch n − 2 neue, und so weiter bis zum letzten, der keine neue mehr hat. Die Summe
(n − 1) + (n − 2) + … + 1 = T(n − 1)
ist eine Dreieckszahl. Der Simplex mit fünf Ecken hat also genau zehn Kanten, so viele, wie die Tetraktys Punkte hat. Die Figur aus zehn Punkten und die Figur aus zehn Linien zählen dasselbe.
Selbstähnlichkeit
Ein zweites Muster steckt im Dreieck selbst. Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks, zerfällt es in vier kleinere. Lässt man das mittlere weg und wiederholt den Schritt mit den drei übrigen, entsteht das Sierpinski-Dreieck. Jeder Teil sieht aus wie das Ganze.
Mit jeder Stufe verdreifacht sich die Zahl der Dreiecke. Die Fläche geht gegen null, die Figur bleibt trotzdem ein Dreieck.
Die gleiche Eigenschaft, dass eine Figur sich in sich selbst wiederholt, findet sich auch im Pentagramm: In seiner Mitte liegt ein kleineres Fünfeck, in das sich wieder ein Pentagramm zeichnen lässt, ohne Ende. Die Verhältnisse, in denen sich die Linien dabei schneiden, führen auf den Goldenen Schnitt.