Simplex – die feste Form der Zahl
Jeder Simplex zeigt das vollständige Teilungsverhalten seiner Zahl. Das macht die Geometrie zu einem zweiten Aggregatzustand der Zahlen.
Zahlen erscheinen uns flüchtig, als Zeichen auf dem Papier, die nur im Kopf eine Bedeutung haben. In der Geometrie der Simplexe nehmen sie eine feste Gestalt an. Ein n-Eck mit allen eingezeichneten Verbindungen zeigt auf einen Blick, wie die Zahl n zu jeder kleineren Zahl steht. Deshalb kann man die Simplexe den festen Aggregatzustand der Zahl nennen.
Eine Zahl, alle ihre Teiler
Die Ecken liegen auf dem Kreisumfang, sie stehen für die Zahl selbst. Die Verbindungen stehen für die möglichen Teiler. Wer eine Figur „jeden k-ten Punkt“ zeichnet, berechnet geometrisch den Bruch n : k:
- Ist n durch k teilbar, zerfällt die Figur in k gleiche Vielecke.
- Sind n und k teilerfremd, entsteht ein einziger Stern, den man in einem Zug zeichnen kann.
- Haben sie einen gemeinsamen Teiler g, ohne dass k n teilt, zerfällt die Figur in g gleiche Sterne.
- Ist k genau die Hälfte von n, laufen alle Linien durch die Mitte.
Wähle eine Zahl und sieh, in welche Figuren ihr Simplex zerfällt. Die Farbe zeigt die Teilbarkeit, die Zahl darunter den Quotienten n : k.
Zwei große Beispiele
Ein gerader und ein ungerader Simplex zeigen den Unterschied besonders deutlich. Man kann sie hier direkt erzeugen und die Sternfiguren einzeln ein- und ausblenden:
Der 20-Eck-Simplex als Beispiel für eine gerade Zahl. Mit dem Regler lässt sich bis zum 45-Eck gehen, dem Beispiel für eine ungerade Zahl.
Kreis und Kreiszahl
Weil alle Figuren im selben Kreis liegen, verbindet der Simplex zwei Zahlenreihen: Der Umfang trägt die Zahl, die Verbindungslinien durch das Innere tragen ihre Teiler. Umfang zu Durchmesser, das ist das Verhältnis, das die Kreiszahl π beschreibt. Daraus folgt die These: Die Simplexe entsprechen in ihrem Wesen der Kreiszahl, denn das Verhältnis von natürlicher Zahl zu ihren Teilern spiegelt das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser. Mehr dazu unter Simplexe und die Kreiszahl π.
Nur bis zur Zwei
Eine Einschränkung ist wichtig. Die Sternfiguren gibt es nur, solange der Quotient n : k größer als 2 ist. Bei k = n/2 bleibt nur noch der Linienstern. In der Divisionstabelle stimmt die Geometrie also nur in einem Viertel des Feldes mit den Zahlenwerten überein. Gerade dieses Viertel genügt aber, denn die Frage nach der Verteilung der Primzahlen stellt sich erst oberhalb dieser Schranke.