Ornamentik im Vierertakt
Füllt man die Simplexe abwechselnd mit Farbe, entstehen Ornamente, deren Mitte immer vier Zahlen lang gefüllt und dann vier Zahlen lang leer ist.
Am Anfang steht ein Zufallsfund am Zeichenprogramm. In jedes Vieleck werden alle möglichen Sternpolygone eingezeichnet. Dann werden alle Flächen abwechselnd gefüllt: Jede Fläche, die durch Überschneidungen entsteht, ist entweder farbig oder leer, je nachdem, wie viele Linien man von außen überqueren muss, um sie zu erreichen. Heraus kommen Ornamente, und in ihrer Reihenfolge steckt eine Überraschung.
Die Simplexe von 3 bis 26 mit abwechselnder Füllung. Unter jeder Zahl steht die Summe der Stufen bis zur Mitte. ● heißt Mitte gefüllt, ○ heißt Mitte leer. Die hinterlegten Blöcke markieren den Vierertakt.
Der Vierertakt
Die Ornamente der Zahlen 3 bis 6 haben eine gefüllte Mitte. Bei 7 bis 10 ist die Mitte leer. Bei 11 bis 14 ist sie wieder gefüllt, und so geht es ohne Ende weiter, immer in Blöcken zu vier. Jedes Ornament zeigt dabei den Charakter seiner Zahl, nämlich durch welche Zahlen sie teilbar ist.
Bei den geraden Zahlen fällt noch etwas auf: Ihre letzte Figur, jeden (n/2)-ten Punkt verbinden, ergibt nur Linien durch den Mittelpunkt, einen „Linienstern“ ohne Fläche. Er fällt beim Füllen weg. Darum ist die Mitte bei geraden Zahlen weiter offen als bei ungeraden.
Woher der Takt kommt
Um das zu verstehen, fächert man die Figuren eines Simplex einzeln auf. Das Polygon selbst hat eine Stufe: Es ist einfach gefüllt. Beim Stern „jeden zweiten Punkt“ umläuft man den Mittelpunkt zweimal. Es entstehen zwei Stufen, außen gefüllte Zacken, innen ein leeres Feld. Jede weitere Figur lässt einen Punkt mehr aus, umläuft die Mitte einmal öfter und hat eine Stufe mehr.
Bis zur Mitte summieren sich die Stufen also zu 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3 … Das sind wieder die Dreieckszahlen. Die Mitte ist gefüllt, wenn diese Summe ungerade ist. Die Folge der Dreieckszahlen läuft aber ungerade, ungerade, gerade, gerade, ungerade, ungerade … Da jede Figur für zwei aufeinanderfolgende Zahlen gleich bleibt (die gerade Zahl verliert ihren Linienstern), entsteht der Viererrhythmus.
Man kann es mit dem Blumenorakel „Er liebt mich, er liebt mich nicht“ vergleichen: Ob man beim letzten Blatt beim ersten oder beim zweiten Satz landet, hängt davon ab, ob die Zahl der Blätter gerade oder ungerade ist. In den Ornamenten verdoppelt sich dieser Wechsel, weil zwei Zahlenreihen ineinandergreifen: die Eckenzahl und die Zahl der Stufen. Aus der doppelten Umschaltung wird ein Viertakt.
Und die Zehn?
Dass ein Viertakt entsteht, wäre für sich noch keine Tetraktys. Zwei weitere Beobachtungen führen zur Zehn:
- Die aufsummierten Stufen folgen den Dreieckszahlen, und die 10 ist die vierte davon.
- Das Zehneck ist der einzige Simplex, bei dem die Zahl der Ecken und die Zahl der Stufen übereinstimmen. Kleinere Simplexe haben weniger Stufen als Ecken, größere mehr.
Wie sich dasselbe über die Winkelsummen zeigt, steht unter Winkelsummen und Vollkreise. Welche vier Figurentypen das Zehneck enthält, erklärt Der Schlüssel zur Tetraktys.