Was ist die Tetraktys?
Zehn Punkte in vier Reihen, eine der ältesten Figuren der Mathematik, und warum sie mehr ist als eine Rechenaufgabe.
Das griechische Wort tetraktys bedeutet schlicht „Vierheit“. Gemeint ist eine Figur aus zehn Punkten, angeordnet in vier Reihen: oben ein Punkt, darunter zwei, dann drei, ganz unten vier. Zusammen bilden sie ein gleichseitiges Dreieck.
Die Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Mit dem Regler entstehen die übrigen Dreieckszahlen.
Eine Zahl, die man sehen kann
Die Griechen schrieben Zahlen nicht mit Ziffern, wie wir es heute tun, sondern dachten sie oft als Anordnungen von Steinchen oder Punkten. Eine Zahl hatte deshalb eine Gestalt. Manche Mengen lassen sich zu einem Quadrat legen (4, 9, 16 …), andere zu einem Rechteck, wieder andere zu einem Dreieck. Die Zahlen der letzten Art heißen bis heute Dreieckszahlen:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 …
Die zehn der Tetraktys ist die vierte davon. Allgemein gilt für die n-te Dreieckszahl
T(n) = 1 + 2 + … + n = n · (n + 1) / 2
Diese Formel lässt sich direkt am Bild ablesen: Legt man zwei gleiche Punktedreiecke gegeneinander, entsteht ein Rechteck aus n mal (n + 1) Punkten. Die Hälfte davon ist das Dreieck.
Mehr als eine Summe
Dass 1 + 2 + 3 + 4 zehn ergibt, ist keine tiefe Einsicht. Die Pythagoreer sahen in der Figur trotzdem ein Grundmuster der Welt, und das aus mehreren Gründen, die hier nacheinander verfolgt werden:
- Geometrie: Die vier Reihen lassen sich als Punkt, Linie, Fläche und Körper lesen, also als die Stufen, in denen der Raum entsteht. Mehr dazu unter Vom Punkt zum Körper.
- Musik: Die Verhältnisse der ersten vier Zahlen, 1 : 2, 2 : 3 und 3 : 4, sind genau die Saitenlängen der drei reinsten Intervalle Oktave, Quinte und Quarte. Mehr dazu unter Zahl und Klang.
- Die Zehn: In der Zehn schloss sich für die Pythagoreer die Zahlenreihe. Alles darüber hinaus war Wiederholung. Was die antiken Quellen dazu sagen, steht unter Die antiken Quellen.
Diese Seite nimmt die Figur ernst, ohne ihr mehr anzudichten, als sich zeigen lässt. Wo die Überlieferung unsicher ist, wird das gesagt. Wo sich etwas nachrechnen lässt, kann man es an den Grafiken selbst ausprobieren.