Zahl und Klang
Oktave, Quinte und Quarte stecken in den ersten vier Zahlen. Das Lambdoma macht alle Verhältnisse auf einmal sichtbar und hörbar.
Der Überlieferung nach entdeckte Pythagoras an einer gespannten Saite, dass wohlklingende Intervalle einfachen Zahlenverhältnissen entsprechen. Teilt man die Saite in der Mitte, klingt die Hälfte eine Oktave höher als die ganze. Greift man sie bei zwei Dritteln, erklingt die Quinte, bei drei Vierteln die Quarte.
| Verhältnis | Intervall | Beispiel vom Ton C |
|---|---|---|
| 1 : 2 | Oktave | C → c |
| 2 : 3 | Quinte | C → G |
| 3 : 4 | Quarte | C → F |
Alle drei Verhältnisse kommen mit den Zahlen eins bis vier aus, also mit genau den Zahlen der Tetraktys. Für die Pythagoreer war das ein starkes Argument, dass die Welt nach Zahlen geordnet ist: Dieselbe Figur, die den Raum beschreibt, beschreibt auch die Harmonie der Töne.
Das Lambdoma
Im zwanzigsten Jahrhundert griff der Musiktheoretiker Hans Kayser diese Idee in seiner Harmonik auf. Ihr zentrales Werkzeug ist das Lambdoma, eine Tabelle, in der jede Zeile einen Nenner und jede Spalte einen Zähler hat. Jedes Feld enthält das Verhältnis Zähler zu Nenner, und jedes Verhältnis ist zugleich ein Ton.
Jedes Feld spielt den Ton 220 Hz × Zähler/Nenner. Farbig markiert sind Oktave (blau), Quinte (rot) und Quarte (grün), hervorgehoben die Diagonale, auf der alle Verhältnisse 1 ergeben. Grau sind Brüche, die sich kürzen lassen.
Im Lambdoma fallen einige Muster sofort auf:
- Die Diagonale von links oben nach rechts unten enthält lauter Einsen: 1/1, 2/2, 3/3 … Sie klingen alle gleich.
- Gleiche Töne liegen auf Geraden, die durch die linke obere Ecke laufen. 1/2, 2/4 und 3/6 ergeben denselben Ton.
- Zeilen und Spalten spiegeln sich. Eine Zeile enthält die Obertöne über einem Grundton, eine Spalte die Untertöne darunter.
Der Name kommt vom griechischen Buchstaben Lambda (Λ): Schreibt man die Zahlen 1, 2, 4, 8 auf den einen Schenkel und 1, 3, 9, 27 auf den anderen, entsteht diese Form. Dieses Schema findet sich schon in Platons Timaios.
Zeilen und Spalten des Lambdoma sind wie die beiden Achsen eines Koordinatensystems angeordnet. Wie eng es mit Teilbarkeit und Primzahlen verbunden ist, wird in der Rubrik Zahlentheorie weiter verfolgt.